Tez Arşivi

Hakkımızda

Tez aramanızı kolaylaştıracak arama motoru. Yazar, danışman, başlık ve özete göre tezleri arayabilirsiniz.


Akdeniz Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Matematik Anabilim Dalı

3-boyutlu dinamik sistemlerin eşdeğerlik problemi

Equivalence problem for 3-dimensional dynamical systems

Teze Git (tez.yok.gov.tr)

Bu tezin tam metni bu sitede bulunmamaktadır. Teze erişmek için tıklayın. Eğer tez bulunamazsa, YÖK Tez Merkezi tarama bölümünde 438045 tez numarasıyla arayabilirsiniz.

Özet:

Bu tez çalışmasında 3-boyutlu bir manifold üzerinde tanımlı bir otonom dinamik sistem için yerel eşdeğerlik problemi Cartan'ın eşdeğerlik metodu kullanılarak ele alınmıştır. Otonom dinamik sistemler için eşdeğerlik probleminin çözümü, dinamik sistemin integral eğrisi yönündeki diferensiyel 1-formun integre edilip edilememesiyle belirlenen iki dala ayrılmıştır. İntegre edilebilir durum için genişletilmiş herhangi iki analitik eşçatının ve dolayısıyla genişletilmiş herhangi iki analitik dinamik sistemin tek değişkenli bir fonksiyonla belirlenen bir difeomorfizma sınıfı ile her zaman birbirine dönüştürülebileceği ispatlanmıştır. İntegre edilemez durumunda ise yine genişletilmiş herhangi iki analitik dinamik sistemin tek değişkenli bir fonksiyonla belirlenen bir difeomorfizma sınıfı ile her zaman birbirine dönüştürülebileceği gösterilmiştir. İntegre edilemez durum için problem taban manifoldu üzerine indirgenerek, problemin temel yapı invaryantlarının sayısının ve integral eğrisi üzerindeki koordinata bağlılığının dinamik sistemi belirleyen vektör alanının diverjasının sıfır olup olmamasına göre belirlendiği ispatlanmıştır. Diverjansı sıfır olan bir vektör alanı için taban manifoldu üzerinde bileşenleri Hamiltonyenlerin fonksiyonlarına karşılık gelen bir flat konneksiyon tanımlanmıştır. Buna göre problemin temel yapı invaryantlarının ve onların eşçatı türevlerinin dinamik sistemin akış eğrisi boyunca değişmediği, diğer bir ifadeyle, Hamiltonyenler cinsinden yazılabileceği gösterilmiş ve dolayısıyla iki dinamik sistemin eşdeğer olabilmesi için gerek ve yeter şartların sadece Hamiltonyen fonksiyonlarına bağlı olarak belirleneceği gösterilmiştir. Diverjansın sıfırdan farklı olduğu durumda da taban manifoldu üzerinde bir flat konneksiyon elde edilmiş ve problemi temsil eden eşçatının yapı denklemleri hesaplanmıştır. Yapı invaryantlarının tamamının sıfır olması durumunda ise yapı denklemleriyle belirlenen Lie cebiri Heisenberg cebirine izomorfik olduğu ve dolayısıyla problemin tanımlandığı manifoldun yerel olarak Heisenberg grubu olduğu görülmüştür.

Summary:

In this thesis, local equivalence problem for an autonomous dynamical system on a three dimensional manifold is considered by means of Cartan's method of equivalence. The solution of equivalence problem for an autonomous dynamical systems separates into two branches determined by integrability and nonintegrability of differential 1-form 1 which is a 1-form along the integral curve of the dynamical system. For integrable case, it is proved that all prolonged analytic coframes, and therefore all prolonged analytic dynamical systems, can be mapped to each other by a class of diffeomorphisms determined by a single function of a one variable. For the latter case, it is also proved that all prolonged analytic coframes, and therefore all prolonged analytic dynamical systems, can be mapped to each other by a class of diffeomorphisms determined by a single function of a one variable. For non-integrable case, problem is reduced to the base manifold and it is proved that number of the fundamental structures invariants and their dependence on a coordinate along the integral curve are determined according to whether the vector field is divergence free or not. For a divergence free vector field a flat connection, whose components are corresponding to the functions of Hamiltonians, is obtained. Accordingly, it is shown that fundamental invariants of the problem and their coframe derivatives are invariant along the flow of the dynamical system, in other words, they can be interpreted as a functions of Hamiltonians and therefore, it is seen that necessary and sufficient conditions for equivalence of dynamical system are determined only by the Hamiltonian functions. Also for a vector field with non-zero divergence a flat connection is obtained on a base manifold and structure equations of coframe, representing a dynamical system, are figured out. In the case of vanishing both of the structures functions, it is seen that Lie algebra determined by structure equations is isomorphic to Heisenberg algebra and thereby underlying manifold is locally Heisenberg group.